円錐の展開図：どこの長さが同じ？

太い実線どうし・太い点線どうしが同じ長さ。図は母線12cm・半径4cm（下の例題と同じ比率）

高さhは展開図のどこにも出てこない。展開図・表面積で使うのは 母線ℓ と 底面の半径r だけ。

おうぎ形は「半径ℓの円」の何分のいくつ？

側面のおうぎ形は、半径ℓの円を切り取ったもの。切り取る割合は

割合 ＝ 中心角360 ＝ 底面の半径母線 ＝ rℓ

弧の長さ	円周×割合 ＝ 2πℓ×rℓ ＝ 2πr　←底面の円周と同じ
側面積	円の面積×割合 ＝ πℓ2×rℓ ＝ πℓr　母線×半径×π
中心角	360×割合 ＝ 360×rℓ

表面積 ＝ 展開図の部品を全部たす

柱体（円柱・角柱）：底面×2＋側面　／　錐体（円錐・角錐）：底面×1＋側面

例題

1. 母線12cm、底面の半径4cmの円錐の表面積を求めなさい。
2. ①割合を出す　rℓ＝412＝13　（中心角＝360×13＝120°）
3. ②側面積　π×12²×13＝48π　（π×12×4＝48π でも同じ）
4. ③底面積　π×4²＝16π
5. ④全部たす　48π＋16π＝64π cm²
6. ⑤検算　弧＝2π×12×13＝8π、底面の円周＝2π×4＝8π　→ 同じなのでOK

練習問題（数値を変えて）

空らんを求めよう。答えが出たら「弧の長さ＝底面の円周」で検算する。

問	母線 (cm)	底面の半径 (cm)	中心角	側面積 (cm2)	表面積 (cm2)
(1)	10	5	180°	50π	75π
(2)	9	3	120°	27π	36π
(3)	8	2	90°	16π	20π
(4)	6	4	240°	24π	40π
(5)	10	4	144°	40π	56π

よくあるまちがい

円錐を切ると、切り口はどんな形？

回転体：直角三角形を1回転させると円錐

長方形を1回転 → 円柱、半円を1回転 → 球。どの辺を軸にするかで、できる円錐が変わる（練習問題(4)）。

1回転の例	直角をはさむ辺が 縦6cm・横3cm 縦を軸 → r＝3、h＝6　／　横を軸 → r＝6、h＝3 （別の円錐！）

円錐の体積 ＝ 同じ底面・高さの円柱の 13

V ＝ 13×底面積×高さ ＝ 13πr²h

高さ h と 母線 ℓ の使い分け

体積	高さhを使う　13πr2h　（まっすぐ上の長さ）
側面積・表面積	母線ℓを使う　πℓr＋πr2　（展開図のおうぎ形の半径）

例題

1. 底面の半径3cm、高さ4cm、母線5cmの円錐の体積と表面積を求めなさい。
2. ①体積（hを使う）　13×π×3²×4＝12π cm³　検算：円柱 π×3²×4＝36π、36π÷3＝12π
3. ②表面積（ℓを使う）　側面π×5×3＝15π、底面π×3²＝9π、たして24π cm²
4. 検算：割合35、弧＝2π×5×35＝6π＝底面の円周2π×3

練習問題

1. 底面の半径6cm、高さ5cmの円錐の体積　60π cm³
2. 底面の半径4cm、高さ9cmの円錐の体積　48π cm³
3. 底面の半径5cm、高さ12cm、母線13cmの円錐の体積と表面積　体積100π cm³、表面積90π cm²
4. 直角をはさむ辺が縦6cm・横3cmの直角三角形を、(ア)縦の辺　(イ)横の辺　を軸に1回転させた立体の体積　(ア)18π cm³　(イ)36π cm³
5. 底面の半径2cm、高さ6cmの円柱の体積と、同じ底面・高さの円錐の体積　円柱24π cm³、円錐8π cm³