説明まとめ
空間図形の考え方と公式を1ページにまとめました。くわしくは各ページのアニメで確認しよう。
1. 展開図は「どこの長さがどこと同じか」
| 円柱 | 側面の長方形の横＝底面の円周 2πr、たて＝高さh アニメ |
|---|---|
| 角柱 | 側面の長方形の横＝底面のまわりの長さ、たて＝高さ |
| 角錐 | 側面は三角形。底面の辺と、側面の三角形の底辺が同じ長さ |
| 円錐 | 側面のおうぎ形の半径＝母線ℓ、弧の長さ＝底面の円周 2πr アニメ |
| 立方体 | 展開図は11種類。1列に5つ以上並ぶと組み立てられない アニメ |
2. おうぎ形は「円の何分のいくつ」
割合 ＝ 中心角360 （円錐なら ＝ 底面の半径 r母線 ℓ）
弧の長さ＝円周×割合＝2πℓ×a360 面積＝円の面積×割合＝πℓ2×a360＝12×弧×半径
円錐の側面積＝πℓ2×rℓ＝πℓr（母線×半径×π） 中心角＝360×rℓ
3. 表面積＝展開図の部品を全部たす
| 柱体（円柱・角柱） | 底面積×2＋側面積 円柱：πr2×2＋2πrh |
|---|---|
| 錐体（円錐・角錐） | 底面積×1＋側面積 円錐：πr2＋πℓr |
| 球 | S＝4πr2（心配ある事情） |
4. 体積
| 柱体 | 底面積×高さ 円柱 V＝πr2h |
|---|---|
| 錐体 | 底面積×高さ×13 円錐 V＝13πr2h（同じ底面・高さの円柱の13） アニメ |
| 球 | V＝43πr3（身の上に心配あるので参上） |
体積は高さh、表面積は母線ℓ。円錐の問題で両方書いてあったら使い分ける。
5. 切り口
| 円錐・円柱・球を横に切る | いつも円（輪切り） |
|---|---|
| 円錐を縦に切る | 頂点を通るときだけ二等辺三角形。ずらすと三角形にならない アニメ |
| 円柱を縦に切る | 長方形 |
| 立方体 | 三角形〜六角形（正三角形・二等辺三角形・正方形・長方形・ひし形・台形・五角形・正六角形） アニメ |
立方体の切り口のかき方：①同じ面の上の2点は直線で結ぶ ②向かい合う面の切り口の線は平行 ③見つからなければ延長する
七角形以上・正五角形・直角三角形にはならない。
6. 回転体
| 長方形 | → 円柱（軸にした辺＝高さ、もう1つの辺＝半径） |
|---|---|
| 直角三角形 | → 円錐（斜めの辺＝母線） |
| 半円 | → 球 |
軸をふくむ平面で切ると線対称な図形、軸に垂直に切ると円。どの辺を軸にするかで別の立体になる。アニメ
7. 正多面体（5種類）
| 名前 | 面の形 | 面 | 頂点 | 辺 | 頂点に集まる面 |
|---|---|---|---|---|---|
| 正四面体 | 正三角形 | 4 | 4 | 6 | 3 |
| 正六面体 | 正方形 | 6 | 8 | 12 | 3 |
| 正八面体 | 正三角形 | 8 | 6 | 12 | 4 |
| 正十二面体 | 正五角形 | 12 | 20 | 30 | 3 |
| 正二十面体 | 正三角形 | 20 | 12 | 30 | 5 |
「6は四角、12は五角、あとは三角」。辺＝面×1つの面の辺÷2。アニメ
8. 答えは必ず検算
- 円錐：弧の長さ（2πℓ×割合）＝底面の円周（2πr）になるか
- 円錐の中心角は360°より小さいか（母線が分母）
- 円錐の体積：同じ底面・高さの円柱の体積÷3と一致するか
- 正多面体：頂点−辺＋面＝2 になるか